如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,且AD+BC=AB,AB为⊙O的直径,求证:⊙O与CD相切.

问题描述:

如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,且AD+BC=AB,AB为⊙O的直径,求证:⊙O与CD相切.

证明:过点O作OE⊥DC于E点,如,
∵AD∥BC,∠C=90°,
∴AD∥OE∥BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴OA=OB,
∴OE为梯形ABCD的中位线,
∴OE=

1
2
(AD+BC),即AD+BC=2OE,
∵AD+BC=AB,
∴AB=2OE,
∴OE为⊙O的半径,
∴⊙O与CD相切.