在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求OA•OB的值;(Ⅱ)如果OA•OB=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.

问题描述:

在平面直角坐标系xoy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)如果直线l过抛物线的焦点,求

OA
OB
的值;
(Ⅱ)如果
OA
OB
=-4,证明直线l必过一定点,并求出该定点.

(Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0)
设l:x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得,
y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2
则y1+y2=4t,y1y2=-4

OA
OB
=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3.
(Ⅱ)设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得
y2-4ty-4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2
则y1+y2=4t,y1y2=-4b
OA
OB
x1x2+y1y2
=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
答案解析:(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标,设出直线与抛物线的两个交点和直线方程,是直线的方程与抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,根据根与系数的关系,表达出两个向量的数量积.
(Ⅱ)设出直线的方程,同抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,根据根与系数的关系表示出数量积,根据数量积等于-4,做出数量积表示式中的b的值,即得到定点的坐标.
考试点:平面向量数量积的运算;恒过定点的直线;抛物线的应用.
知识点:从最近几年命题来看,向量为每年必考考点,都是以选择题呈现,从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查,主要考查向量的数量积的运算,结合最近几年的高考题,向量同解析几何,三角函数,立体几何结合起来考的比较多.