在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点．若OA⋅OB＝−4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
问题描述：
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A、B两点．若
⋅
OA
＝−4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
OB
答
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为my+b=x．
联立
，化为y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b．
y2＝4x my+b＝x
∴x1x2=（my1+b）（my2+b）=m2y1y2+bm（y1+y2）+b2，
∵
⋅
OA
＝−4，∴x1x2+y1y2=-4，
OB
∴m2y1y2+bm（y1+y2）+b2+y1y2=-4，
∴b2+（m2+1）（-4b）+4m×bm=-4，
化为b2-4b+4=0，解得b=2．
对于直线l的方程：my+b=x．令y=0，则x=2，
故直线l过定点（0，2）．
答案解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为my+b=x．与抛物线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积运算法则即可得到b，进而得到直线l过定点．
考试点：直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为抛物线的方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．