正方体ABCD——A'B'C'D'中MN分别是AA'和AB的中点,P是上底面的中心,则直线PB与MN所成的角
问题描述:
正方体ABCD——A'B'C'D'中MN分别是AA'和AB的中点,P是上底面的中心,则直线PB与MN所成的角
答
555
答
先用三角形中线定理证明MN//A'B,所以MN与PB成角则为角DBA'。而A'D,BD,A'B都是面对角线所以显然A'BD为正三角形,所以所求角是60°
答
取AD的中点E,连接PD、PE、EN、EM,
∵△ABD中E、N分别是AD和AB的中点
∴EN‖PB
在△EMN中:
EN²=AE²+AN²,EM²=AE²+AM²,MN²=AM²+AN²
且AN=AE=AM(都为正方体三条棱长的一半)
∴EN=EM=MN
∴在△EMN是正三角形
∴EN与MN所成的角为60°
又∵EN‖PB
∴PB与MN所成的角为60°
保证正确!