已知向量m1=(0,x),n1=(1,1),m2=(x,0),n2=(y^2,1)又设向量m=向量m1+根号2向量n2,n=m2-根号2向量n1,且m∥n,点P(x,y)的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程 (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于A、B两点,若AB=(4根号2)/3,求直线l的方程

问题描述:

已知向量m1=(0,x),n1=(1,1),m2=(x,0),n2=(y^2,1)
又设向量m=向量m1+根号2向量n2,n=m2-根号2向量n1,且m∥n,点P(x,y)的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程 (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于A、B两点,若AB=(4根号2)/3,求直线l的方程

(1)由已知

m
=(0,x)+(
2
y2,
2
) =(
2
y2,x+
2
)

n
=(x,0)-(
2

2
) =(x-
2
,-
2
),(2分)


m


n
,∴
2
y2(-
2
) -(x+
2
) (x-
2
) =0(4分)
即所求曲线C的方程是:
x2
2
+y2=1(6分)
(2)由(1)求得点M(0,1).显然直线l与x轴不垂直.
故可设直线l的方程为y=kx+1,设M(x1,y1),N(x2,y2)(8分)

x22+y2=1y=kx+1
,消去y得:(1+2k2)x2+4kx=0,解得x1=0,x2=
-4k
1+2k2
.(10分)
由|MN|=
1+k2
|
4k
1+2k2
| =
42
3
,解得:k=±1(12分)
∴所求直线的方程为x-y+1-0或x+y-1=0.(14分)

所求曲线的方程是x^2/2+y^2=1.直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0.

(1)如果把答案打出来,我不知要打到什么时候;我做个提示吧;两向量平行,所以m=An(A是一个设定的参数),把m1,n1,m2,n2,代入等m和n,形成一个含A的等式.然后把含x的含y的,分别放到等式两边.然后根据向量坐标的相等,把A分离出来,形成两个等式,就得到只含x和y的关系式了,然后C就好确定啦;