已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,则(  )A. 点(0,0)不是f(x,y)的极值点B. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点C. 点(0,0)是f(x,y)的极小值点D. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点

问题描述:

已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且

lim
x→0,y→0
f(x,y)-xy
(x2+y2)2
=1,则(  )
A. 点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C. 点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点

lim
x→0,y→0
f(x,y)-xy
(x2+y2)2
=1知,
因此分母的极限趋于0,故分子的极限必为零,
从而有f(0,0)=0;
因为极限等于1;故f(x,y)-xy~(x2+y22(|x|,|y|充分小时),
于是f(x,y)~xy+(x2+y22
因为:f(0,0)=0;
所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y22
可见当y=x且|x|充分小时,
f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;
而当y=-x且|x|充分小时,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.
故点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
故选:A.
答案解析:根据极限可推知f(0,0)=0,然后判断f(x,y)点(0,0)的充分小的邻域内的符号即可求解.
考试点:极值判定定理.
知识点:本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念,题型比较新,有一定难度.将极限表示式转化为极限值加无穷小量,是有关极限分析过程中常用的思想.