关于积分求曲面面积的问题~球的表面积等等
问题描述：
关于积分求曲面面积的问题~球的表面积等等
首先值得肯定的是对于很多求体积的积分问题都是可以用切片法来解决的,比如圆的体积~就可以通过对每一个圆面的面积对z进行积分（平行XOY平面切片）,这样可以很方便得到圆的体积~这是我就在思考对于圆的表面积能不能用相类似的切片法进行求解,我的思路是：将圆的面积分解成为一个个紧密排列的圆圈,由于半径的不同每一圈的周长也不同~但是从积分上限到下限也只有一个自变量z,也就是从R到-R对2pi根号下R方-z方进行积分~计算结果明显不对~还有类似的就是圆锥的表面积~这种思路仅仅只对圆柱,方体有用~不知道是不是缺少了什么东西~线动成面什么的~
答
毛病出在你没有用等价无穷小量去代换,所以积分（也就是取极限）后结论不对.
可以先拿曲线的弧长做例子,在计算曲线长度时要用内接折线段来逼近,也就是说在小区间[x,x+dx]上要用折线段(x,f(x))--(x+dx,f(x+dx))来代替曲线段,而不能直接用dx,因为这不是局部的曲线段长度的等价无穷小量.
当然曲面的情况要比曲线复杂,曲面面积甚至不能用内接多面体的面积来逼近,不过至少来说拿圆柱去逼近圆锥侧面就像直接用直角三角形的直角边去逼近斜边一样,不是等价无穷小代换.对于圆的表面积而言,可以对切片用圆台的侧面积去近似,对于旋转体而言这样是安全的.
对于一般的简单曲面就不要乱来了,老老实实按定义去做,除非你掌握了我所说的要点,做的代换都是等价量的代换.