数码不相同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.

问题描述:

数码不相同的两位数,将其数码顺序交换后,得到一个新的两位数,这两个两位数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.

设这个两位数十位数字为a,个位数字为b,
(10a+b)2-(10b+a)2=99(a+b)(a-b),
因为a、b是不同的数字,
由此得出a+b是11的倍数,即a+b=11k,由a≤9,b≤9,即a+b≤18,所以k=1,a+b=11,
(a-b)k是完全平方数,因此(a-b)可以为0,1,4,于是得到,

a+b=11
a−b=1
a+b=11
a−b=4
a+b=11
a−b=0

只有一组解符合要求,解得
a=6
b=5

因此这两位数有56,65共两个.