周长相等的n边形,正n边形面积最大证明周长相等正N边形比任意N边形面积大.

【解】：
第1步、证明：周长相等的凸n边形面积>凹n边形面积；
连接凹形部分的两点，以这2点所在直线为对称轴，翻转凹形部分，所得图形周长不变，面积增加。得证；
第2步、证明：周长相等的凸n形面积，正n边形面积最大；
任取凸n形1顶点，再取1点，使得2点平分周长，连接这2点成直线；
该直线分该n边形为2部分，留面积大的部分，翻转到另外一边，所得图形周长不变，面积增加；
如果2部分面积均相等，则平分周长的另外1点都是顶点或对边中点，即为正n边形；
故得证。

首先假设这个多边形为n边形，那么这个多边形会有1个内切圆，内切圆的的圆心到所有边的距离都相等，现在我们假设这个内切圆半径为r，那么这个多边形的面积是rC/2现在我过内心做一条垂直于某一边AB的线段，这个线段就是内径，连接内心和这条边的两个端点，很容易得到，r=[|AB|tan(A/2)]/2,释怀同理我们对于每一条边和它一端的内角都能得到这个类似的结果于是r就应等于所有这些结果的和除以边数（或内角数），注意不能出现重复的边和角，又由于所有边的和为C所有内角的和也是个定值(n-2)*180度，因此要想这些结果的和最大，应该有每一个结果都相等，此时，也是r最大，面积最大。而要使类似于|AB|tan(A/2)]/2的组合都相等，则每一个内角，每一条边都相等，而这正是正多边形

1,2楼证明都不对
1楼的问题是平分周长的2点连线两边的顶点数未必一样多 所以翻转后就不一定是n边形了.
2楼的问题是 一般的多边形没有内切圆
若会高等数学 可以用如下方式证
1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2有一个顶点在原点的一个凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定 所以可以看成2n-2维空间中一点 周长一定的情况下
这些点组成的集合石 2n-2为空间中的一个紧集.
3面积是这个空间中的连续函数 所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大 设为S.
4若S有2相邻边不相等 则设为AB,BC 则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC 则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则 将B换为B1 得多边形S1 有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S 与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5S的每条边相等 存在S1为正n边形 与S边长相等. 则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积 则S1面积>=S面积 故得证.