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a＞b＞c，n∈N*，且1a−b+1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为 ______．

分类: 作业答案 • 2022-03-05 18:42:48
问题描述：

a＞b＞c，n∈N*，且

1
a−b
+
1
b−c
≥
n
a−c
恒成立，则n的最大值为 ______．

答

1
a−b
+
1
b−c
≥
n
a−c
恒成立
即n≤
a−c
a−b
+
a−c
b−c
恒成立
只要n≤(
a−c
a−b
+
a−c
b−c
)最小值
∵
a−c
a−b
+
a−c
b−c
＝
a−b+b−c
a−b
+
a−b+b−c
b−c

=2+
b−c
a−b
+
a−b
b−c

∵a＞b＞c
∴a-b＞0，b-c＞0
∴
b−c
a−b
+
a−b
b−c
≥2
b−c
a−b
•
a−b
b−c
=2
∴(
a−c
a−b
+
a−c
b−c
)≥4
∴(
a−c
a−b
+
a−c
b−c
)最小值为4
故答案为4．
答案解析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a-c=a-b+b-c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求出最小值．
考试点：基本不等式．

知识点：本题考查利用基本不等式求函数的最值要注意满足：一正、二定、三相等．凑定值是难点．

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