用数学归纳法证明:3*7^(k+1)+6能被9整除

(1）当K=1时，3*7^(1+1)+6=153,能被9整除。
(2)假设当k=n时能被9整除，即3*7^(n+1)+6能被9整除。
那么当k=n+1时，3*7^(n+1+1)+6=3*7*7^(n+1)+6=3*7^(n+1)+6+6*3*7^(n+1).由假设可知，3*7^(n+1)+6能被9整除，而后式6*3*7^(n+1)=18*7^(n+1)，能被9整除。所以3*7^(n+1+1)+6能被9整除。
综上可得，当k=n时能被9整除，则k=n+1时，同样能被9整除。
综合1，2所述可知，3*7^(n+1)+6能被9整除。

k=1，3*7^(k+1)+6=153可以被9整除
假设k=n时，3*7^(k+1)+6=3*7^(n+1)+6可以被9整除
则当k=n+1时
3*7^(k+1)+6=3*7^(n+2)+6=3*7*7^(n+1)+6=21*7^(n+1)+6
因为21*7^(n+1)+6
=18*7^(n+1)+3*7^(n+1)+6
因为18*7^(n+1)和3*7^(n+1)+6都能被9整除
所以
21*7^(n+1)+6能被9整除，即3*7^(n+2)+6能被9整除
所以3*7^(k+1)+6可以被9整除
证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除
数学归纳法
(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除

k=1,3*7^(k+1)+6=153可以被9整除
假设k=n时,3*7^(k+1)+6=3*7^(n+1)+6可以被9整除
则当k=n+1时
3*7^(k+1)+6=3*7^(n+2)+6=3*7*7^(n+1)+6=21*7^(n+1)+6
因为21*7^(n+1)+6
=18*7^(n+1)+3*7^(n+1)+6
因为18*7^(n+1)和3*7^(n+1)+6都能被9整除
所以
21*7^(n+1)+6能被9整除,即3*7^(n+2)+6能被9整除
所以3*7^(k+1)+6可以被9整除

证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除
数学归纳法
(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除