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证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除还有两题：1.当我们看到下面这个数学算式37^3+13^3\37^2+24^3=37+13\37+24=50\61时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道a^3+b^3/c^3+d^3≠a+b/c+d,但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以任意多个这种等式：3^3+1^3/3^3+2^3=3+1/3+2,5^3+2^3/5^3+3^3……你能发现以上等式的规律吗？2.设n使自然数,那么n^4-3n^2+9是质数还是合数?证明你的结论。

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:59:28
问题描述：

证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
还有两题：
1.当我们看到下面这个数学算式37^3+13^3\37^2+24^3=37+13\37+24=50\61时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道a^3+b^3/c^3+d^3≠a+b/c+d,但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以任意多个这种等式：3^3+1^3/3^3+2^3=3+1/3+2,5^3+2^3/5^3+3^3……你能发现以上等式的规律吗？
2.设n使自然数,那么n^4-3n^2+9是质数还是合数?证明你的结论。

答

证明：数学归纳法
N=1时，9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
设N=k时，9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
则当N=k+1时，9的8（k+1）+4次方-7的8(k+1)+4次方=9^(8(k+1)+4)-7^(8(k+1)+4)=9^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*9^8+7^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*7^8=(9^(8k+4)-7^(8k+4))*9^8+7^(8k+4)*(9^8-7^8)
此式第一项由归纳法假设可知，它可被20整除，后一项（9^8-7^8）=37281920是20的倍数，所以该式可被20整除。
1.：当a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2时上式成立。
2.既可能是合数，也可能是质数。

答

证明：数学归纳法N=1时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；设N=k时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；则当N=k+1时,9的8（k+1）+4次方-7的8(k+1)+4次方=9^(8(k+1)+4)-7^(8(k+1)+4)=9^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*9^...

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