求个概率分布密度的题目
问题描述：
求个概率分布密度的题目
设二维随机变量的联合分布密度为
p（x,y）=c/[(1+x^2)(1+y^2)]
(1)求c （2）求Z＝1－3√x的分布密度
第一解的c为 1/∏^2 (1除以“派”的平方) 我自己能解
第二解怎么求
最好还要能简单解释下为什么这么做
答
(1)求c
由∫[-∞,+∞]dx∫[-∞,+∞]p(x,y)dy=1即得c=1/π^2.
（2）求Z＝1－3√x的分布密度
是“z等于1减立方根x”吧?
先求X的分布密度：
fX(x)=∫[-∞,+∞]p(x,y)dy=1/[π(1+x^2)]
FZ(z)=P[Z≤z]=P[1-x^(1/3)≤z].[求随机变量函数分布的常规做法]
=P[X≥(1-z)^3]
=∫[(1-z)^3,+∞]1/[π(1+x^2)]dx...[也可以现在就对z求导]
=(1/π)[π/2-arctan(1-z)^3].
fZ(z)=(3/π)*(1-z)^2/[1+(1-z)^6].