设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(  )A. 不存在B. 仅含一个非零解向量C. 含有两个线性无关的解向量D. 含有三个线性无关的解向量

问题描述:

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(  )
A. 不存在
B. 仅含一个非零解向量
C. 含有两个线性无关的解向量
D. 含有三个线性无关的解向量


∵A是n阶的矩阵,
∴AX=0和AX=b,含有n个未知数,
于是,AX=0基础解系含向量的个数为:n-r(A),
又:r(A*)=

n ,r(A)=n
1 ,r(A)=n−1
0 ,0≤r(A)≤n−2

已知:A*≠0,
于是r(A)等于n或n-1,
又Ax=b有互不相等的解,即解不惟一,
故:r(A)=n-1,
从而AX=0基础解系所含解向量的个数为:n-r(A)=1,
即选:B.
答案解析:要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩,因为基础解系含向量的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩.
考试点:矩阵的秩的性质;伴随矩阵的性质;基础解系、通解及解空间的概念.

知识点:本题是对矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查,对这些基础知识点要熟练掌握.