如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

答

（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，
∴BD是⊙O切线；
（2）
连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中点，
∴AD=

1

2

AC，
∴DE=

1

2

BC，
∵BC=6，∴DE=3，
∵AD：AE=4：5，
在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，
那么DE=3x，
∴x=1
∴AE=5．
答案解析：（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；
（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．
考试点：["\u5207\u7ebf\u7684\u5224\u5b9a\u4e0e\u6027\u8d28","\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406","\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u4f4d\u7ebf\u5b9a\u7406","\u5706\u5468\u89d2\u5b9a\u7406"]
知识点：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OD、DE，证明DE∥BC．