过双曲线的中心作直线交双曲线于A,B两点,P是双曲线上任意两点,求证:直线PA,PB的斜率乘积是定值
问题描述：
过双曲线的中心作直线交双曲线于A,B两点,P是双曲线上任意两点,求证:直线PA,PB的斜率乘积是定值
答
证：设双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1,根据对称性可设A(x1,y1) ,B(-x1,-y1) ,再设P(x2,y2),则：
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 ,x2^2/a^2-y2^2/b^2=1,相减得：(y1^2-y2^2)/(x1^2-x2^2)=b^2/a^2……（1）
故PA,PB的斜率乘积={(y1-y2)/(x1-x2)] [(y1+y2)/(x1+x2)]=(y1^2-y2^2)/(x1^2-x2^2)=b^2/a^2是定值.（本题还需要条件：斜率存在）