在棱长为1的正方体AC1中，则平面C1BD与平面CB1D1所成角余弦值为 _ ．
问题描述：
在棱长为1的正方体AC1中，则平面C1BD与平面CB1D1所成角余弦值为 ___ ．
答
设正方形CDD1C1的对角线C1D、CD1交点为M，正方形CBB1C1的对角线B1C、C1B交点为N，
则平面BDC1和平面B1D1C的交线为MN，
∵正方体AC1的棱长为1，则正方形对角线C1D=
，C1M=
2
，C1N=
2
2
，
2
2
MN是三角形C1DB的中位线，MN=
=BD 2
，
2
2
三角形C1MN是正三角形，
同理三角形CMN也是正三角形，
取MN中点E，连接CE和C1E，则CE⊥MN，C1E⊥MN，故∠C1EC是平面C1BD与平面CB1D1所成二面角的平面角，
C1E=CE=
MN=
3
2
，
6
4
在三角形C1EC中，CC1=1，
根据余弦定理，CC12=C1E2+CE2-2•CE•C1Ecos∠C1EC，
∴cos∠C1EC=-
，1 3
则平面C1BD与平面CB1D1所成角余弦值为-
．1 3
故答案为：-
1 3