求∫∫arctan(y/x)dσ,其中积分区域是x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.

问题描述:

求∫∫arctan(y/x)dσ,其中积分区域是x2+y2=4,x2+y2=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域.
注意:需用极坐标
我能完全化成极坐标,主要是不会积分.

x=r cosθ
y=r sinθ (θ从0到π/4;r从1到2;积分区域是一个扇形)
则被积函数arctan(y/x)=arctan[(r sinθ/(r cosθ)]=arctan tanθ =θ
∫∫arctan(y/x)dσ
=∫(从0到π/4)dθ ∫(从1到2)r·θ dr
=∫(从0到π/4)[(1/2)r^2|(从1到2)]·θ dθ
=∫(从0到π/4)(3/2)θ dθ
=(3/2)·(1/2)θ^2|(从0到π/4)
=3π^2/64