如图，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC． （Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
问题描述：
如图，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．
答
（Ⅰ）∵平面PAC⊥平面ABC，∠CAB=90°，交线为AC；
∴AB⊥平面PAC
又∵PC⊂平面PAC，
∴AB⊥PC；
（Ⅱ）取AP的中点D，连接CD，DB．
则CD⊥PA，
∵AB⊥平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC，
∵平面PAB∩平面PAC=PA，
∴CD⊥平面PAB，则∠CBD为所求线面角； …（10分）
由已知不妨设：AC=1，则CD=
，AB=2，BC=
3
2
…（12分）
5
∴sin∠CBD=
=CD BC
，
15
10
即直线BC与平面PAB所成角的正弦值为
…（14分）
15
10