在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F. (1)求证:BD=BF; (2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.

问题描述:

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.

(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=6,AD=4,求⊙O的面积.

(1)证明:如图,连接OE
∵AC切⊙O于E,
∴OE⊥AC,
又∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F,
又OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,
∴BD=BF;
(2)设⊙O半径为r,
由OE∥BC得△AOE∽△ABC,

AO
AB
OE
BC

r+4
2r+4
r
6

∴r2-r-12=0,
解之得r1=4,r2=-3(舍),
经检验,r=4是原分式的解.
∴S⊙O=πr2=16π.