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如图，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且BC=CD，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．（1）判断OB和BP的数量关系，并说

分类: 作业答案 • 2022-03-02 21:36:27

问题描述：

如图，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且

BC

=

CD

，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．

（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

答

（1）OB=BP．
理由：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，∠OAC=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠P=30°，
在Rt△OCP中，OC=

1

2

OP=OB=BP；
（2）由（1）得OB=

1

2

OP，
∵⊙O的半径是2，
∴AP=3OB=3×2=6，
∵

BC

=

CD

，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠P=30°，
∴∠E=90°，
在Rt△AEP中，AE=

1

2

AP=

1

2

×6=3．