如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中
问题描述：
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）1 2
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC:S△ABC=1:3.A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答
①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°，1 2
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=
AD，1 2
∴BC=CD+BD=
AD+AD=1 2
AD，S△DAC=3 2
AC•CD=1 2
AC•AD．1 4
∴S△ABC=
AC•BC=1 2
AC•1 2
AD=3 2
AC•AD，3 4
∴S△DAC：S△ABC=
AC•AD：1 4
AC•AD=1：3．3 4
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．