如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中

问题描述:

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于

1
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MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=

1
2
∠CAB=30°,
∴∠3=90°-∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=
1
2
AD,
∴BC=CD+BD=
1
2
AD+AD=
3
2
AD,S△DAC=
1
2
AC•CD=
1
4
AC•AD.
∴S△ABC=
1
2
AC•BC=
1
2
AC•
3
2
AD=
3
4
AC•AD,
∴S△DAC:S△ABC=
1
4
AC•AD:
3
4
AC•AD=1:3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.
故选D.