某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为2m.(1)过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点,且与走廊的一边的夹角为θ(0<θ<π2),将线段AB的长度l表示为θ的函数;(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).

问题描述:

某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为2m.

(1)过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点,且与走廊的一边的夹角为θ(0<θ<

π
2
),将线段AB的长度l表示为θ的函数;
(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).

(1)根据图得:l(θ)=BP+AP=2sinθ+2cosθ,θ∈(0,π2).(2)铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:l′(θ)=(2sinθ)′+(2cosθ)′=0•sinθ−2•cosθsin2θ+0•cosθ+2•sinθcos2θ=2(sin3θ−cos3θ)sin2...
答案解析:(1)根据图可知l(θ)=BP+AP,而BP=

2
sinθ
AP=
2
cosθ
代入整理可得函数.
(2)“长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊,铁棒能水平通过该直角直廊”,关键看函数l(θ)=的值域,先研究其单调性,用导数法,先求导,令l'(θ)=0得,θ=
π
4
,易知当0<θ<
π
4
时,l'(θ)<0,l(θ)为减函数;当
π
4
<θ<
π
2
时,l'(θ)>0,l(θ)为增函数,可知当θ=
π
4
时,l(θ)有最小值,再与5比较得到结论.
考试点:函数模型的选择与应用.

知识点:本题主要考查函数模型的建立与应用,还考查了三角函数的定义,导数法求函数最值等.