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已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　） A.[94，+∞) B.[2，+∞） C.（-∞，2] D.（-∞，94]

分类: 作业答案 • 2022-03-01 18:16:22

问题描述：

已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）
A. [

9

4

，+∞)
B. [2，+∞）
C. （-∞，2]
D. （-∞，

9

4

]

答

∵不等式

1

x

+

4

y

≥m对两个正实数x，y恒成立，即（

1

x

+

4

y

）_min≥m，
∵x+y=4，即

x

4

+

y

4

＝1，
又∵x＞0，y＞0，
∴

1

x

+

4

y

=（

1

x

+

4

y

）（

x

4

+

y

4

）=

y

4x

+

x

y

+

5

4

≥2

y

4x

•

x

y

+

5

4

=1+

5

4

=

9

4

，
当且仅当

y

4x

=

x

y

，即x=

4

3

，y=

8

3

时取“=”，
∴（

1

x

+

4

y

）_min=

9

4

，
∴m≤

9

4

，
∴实数m的取值范围是（-∞，

9

4

]．
故选：D．