如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连接CE,(1)如果CE⊥AB,AB=CD,BE=3AE,求∠B的度数;(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BEAE的值.

问题描述:

如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连接CE,

(1)如果CE⊥AB,AB=CD,BE=3AE,求∠B的度数;
(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求

BE
AE
的值.

(1)延长BA、CD相交于点M.如图1:
∵AD∥BC,
∴△MAD∽△MBC,

AD
BC
MA
MB
1
3

∴MB=3MA.设MA=2x,则MB=6x.
∴AB=4x.
∵BE=3AE,
∴BE=3x,AE=x.
∴BE=EM=3x,E为MB的中点.
又∵CE⊥AB,
∴CB=MC.
又∵MB=MC,
∴△MBC为等边三角形.
∴∠B=60°;
(2)延长BA、CD相交于点F,如图2:
∵AD∥BC,
∴△FAD∽△FBC,
S△FAD
S△FBC
=(
AD
BC
)2
1
9

设S△FAD=S3=a,则S△FBC=9a,S1+S2=8a,
又∵2S1=3S2
S1
24
5
a,S2
16
5
a,S3=a.
∵△EFC与△CEB等高,
FE
EB
S△FEC
S△ECB
S3+S2
S1
7
8

设FE=7k,则BE=8k,FB=15k,
∴FA=
1
3
FB=5k.
∴AE=7k-5k=2k.
BE
AE
=4.
答案解析:(1)首先延长BA与CD,然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形,即可得∠B为60°,
(2)可利用面积法求解,因为如果三角形的高相等,则其面积的比等于其底的比,所以可求得AE与BE的比.
考试点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.
知识点:本题考查了如果三角形的高相等,则面积比等于其底边的比.解此题的关键是准确地作出辅助线与数形结合思想的应用,难度适中.