已知函数f（x）=12x2+lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞1时，12x2+lnx＜23x3．
问题描述：
已知函数f（x）=
x2+lnx．1 2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，
x2+lnx＜1 2
x3． 2 3
答
（1）依题意知函数的定义域为{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+
，∴f′（x）＞0，1 x
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（2）证明：设g（x）=
x3-2 3
x2-lnx，1 2
∴g′（x）=2x2-x-
，1 x
∵当x＞1时，g′（x）=
＞0，(x−1)(2x2+x+1) x
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=
＞0，1 6
∴当x＞1时，
x2+lnx＜1 2
x3．2 3
答案解析：（1）确定函数的定义域，求导函数，可得导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（2）构造函数g（x）=
x3-2 3
x2-lnx，确定g（x）在（1，+∞）上为增函数，即可证得结论．1 2
考试点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．