如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,弦AD交BC于点E,AE=4,ED=5,(1)求证:AD平分∠BDC;(2)求AC的长;(3)若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I,求证:AI=AC.

问题描述:

如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,弦AD交BC于点E,AE=4,ED=5,
(1)求证:AD平分∠BDC;
(2)求AC的长;
(3)若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I,求证:AI=AC.

证明:(1)∵AB=AC,

AB
AC

∴AD平分∠BDC;
(2)∵∠ACB=∠ADB,∠CDA=∠ADB,
∴∠CDA=∠ACB;
∵∠CAE=∠DAC,
∴△ACE∽△ADC;
AE
AC
AC
AD
,即
4
AC
AC
9

∴AC=6;
证明:(3)∠AIC=∠ADC+∠DCI,∠ACI=∠BCI+∠ACB;
∴∠AIC=∠ACI;
∴AI=AC.
答案解析:(1)已知AB=AC,则
AB
AC
;由同弧所对的圆周角相等,即可证得所求的结论;
(2)根据(1)得出的相等弧,可知∠ACE=∠CDA,易证得△ACE∽△ADC,可得出关于AC、AE、AD的比例关系式,由此可求出AC的长;
(3)求AI=AC,可证∠AIC=∠ACI;由三角形外角的性质知:∠AIC=∠ICD+∠ADC;而∠ACI=∠ACE+∠ICE;观察两个式子,发现∠ICB和∠ICD是由角平分线所分得的两个等角,∠ACE和∠ADC是同弧所对的圆周角,由此可得出∠ACI=∠AIC,即可证得AI=AC.
考试点:圆周角定理;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质.

知识点:此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质.