证明方程1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)=0在(1,2)和(2,3)内各有一个实根
证明方程1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)=0在(1,2)和(2,3)内各有一个实根
我认为这个题有两点要证明,一是在(1,2)和(2,3)内存在零点,二是函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)和(2,3)内严格单调.
先看第一个证明,我有两种想法
一是在等号两边同乘(x-1)(x-2)(x-3),因为显然原式中x≠1,2,3,所以(x-1)(x-2)(x-3)≠0,所以相乘后的式子依然成立,变成3x^2-12x+11=0.这时函数g(x)=3x^2-12x+11的定义域便不受x≠1,2,3的限制了,故可通过g(1)>0,g(2)0来证明函数在(1,2)和(2,3)内存在零点.不知道这种想法有没有漏洞~
还有就是分别在两个区间中找两个具体的数来证明零点的存在.
第二个证明我是没辙了~请高人相助,但愿别说"显然...严格单调"~
我证出单调性了
设1
第一问：
3x²-12x+11=0,直接解出方程,看一下根的大小不就可以判断了.也要受x≠1,2,3的制约,否则方程无意义.
第二问：单调性只能用定义证明,证明如下：
设1＜x1＜x2＜2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)
分母显然大于0,判断分子正负即可
分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0,x1+x2-4＜0
即当1＜x1＜x2＜2时,f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)
所以函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)单调递减
同理可判断在（2,3）区间上是增函数