1.已知α,β∈〔0,π〕,且α,β是方程asinx＋bcosx＋c＝0(ab≠0)两相异实根,求sin(α＋β)的值.2.用解析法证明:三角形的重心到三顶点的距离的平方和是此三角形所在平面上任意一点到三顶点的距离的平方和的最小值.3.已知三角形三边的长是三个连续的整数,最大角是最小角的两倍,求这个三角形的最小边的长.4.在半径为R的扇形OAB中,圆心角∠AOB＝60度,在扇形中有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积.｛要有过程｝
问题描述：
1.已知α,β∈〔0,π〕,且α,β是方程asinx＋bcosx＋c＝0(ab≠0)
两相异实根,求sin(α＋β)的值.
2.用解析法证明:三角形的重心到三顶点的距离的平方和是此三角形所在
平面上任意一点到三顶点的距离的平方和的最小值.
3.已知三角形三边的长是三个连续的整数,最大角是最小角的两倍,求这个三角形的最小边的长.
4.在半径为R的扇形OAB中,圆心角∠AOB＝60度,在扇形中有一个内接矩形,
求内接矩形的最大面积.
｛要有过程｝
答
1.(cosx)2=1-(sinx)2带入得
(a2+b2)(sinx)2+2ac*sinx+c2-b2=0
所以sinα*sinβ=(c2-b2)/(a2+b2)
同理得cosα*cosβ=(c2-a2)/(a2+b2)
cos(α＋β)=cosα*cosβ-sinα*sinβ=(b2-a2)/(a2+b2)
sin(α＋β)=2ab/(a2+b2)
2.证明略
3.设三边长为a+1,a,a-1,最小角为α
sin2α/(a+1)=sinα/(a-1) sin2α=2sinα*cosα
cosα=2(a+1)/(a-1)
又因为cosα=a2+(a+1)2-(a-1)2/2a(a+1)
(a+4)(a-1)=(a+1)2
a=5所以最小边长为4
4.有两种可能：1,矩形2个顶点在弧上,2个在半径上;2,矩形一条边在半径上,另两个顶点,一个在另一条半径上一个在弧上!
第一种:设长为2x,宽为y,则矩形面积为2xy
(根号3*x+y)2+x2=R2
4X2+Y2+2xy*根号3-R2=0
R2-S*根号3=4x2+y2>=4xy=2S
S=4/(S根号3)
S