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已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

分类: 作业答案 • 2022-02-26 18:54:58
问题描述：

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

答

由题意设直线方程为

x
a
+
y
b
=1（a＞0，b＞0），∴
3
a
+
2
b
=1．
由基本不等式知
3
a
+
2
b
≥2
3
a
•
2
b
，
即ab≥24（当且仅当
3
a
=
2
b
，即a=6，b=4时等号成立）．
又S=
1
2
a•b≥
1
2
×24=12，
此时直线方程为
x
6
+
y
4
=1，即2x+3y-12=0．
∴△ABO面积的最小值为12，此时直线方程为2x+3y-12=0
答案解析：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，推出a，b的值，即可求出直线方程，得到面积的最值．
考试点：A:基本不等式在最值问题中的应用 B:直线的截距式方程
知识点：本题考查直线方程的求法，截距式方程的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．

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