数学证明题:m,n都是正整数,且m,n都是两个正整数的完全平方和m,n都是正整数,且m,n都是两个正整数的完全平方和(就是m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,a,b,c,d是正整数)如何证明m乘n,即mn也是两个正整数的完全平方和(mn=x^2+y^2, x,y是正整数)
问题描述：
数学证明题:m,n都是正整数,且m,n都是两个正整数的完全平方和
m,n都是正整数,且m,n都是两个正整数的完全平方和(就是m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,a,b,c,d是正整数)如何证明m乘n,即mn也是两个正整数的完全平方和(mn=x^2+y^2, x,y是正整数)
答
mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
=x^2+y^2
答
证：设m=a^2+b^2,n=c^2+d^2,(a、b、c、d是正整数)
mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2
=[a(c+d)]^2+[b(c+d)]^2
因为a、b、c、d均为正整数,
所以a(c+d)为正整数,b(c+d)以为正整数,不妨设a(c+d)=x,b(c+d)=x
所以：mn=x^2+y^2,即mn是两个正整数的平方和.
证毕.