求同时满足下列两个条件的所有复数z：①z+10z是实数，且1＜z+10z≤6；②z的实部和虚部都是整数．
问题描述：
求同时满足下列两个条件的所有复数z：
①z+
是实数，且1＜z+10 z
≤6；10 z
②z的实部和虚部都是整数．
答
设z+
=t，则 z2-tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2-40＜0，10 z
解方程得 z=
±t 2
i．
40−t2
2
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，
故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．
答案解析：根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+
为一个整体t，进行整体换元，得到 z2-tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．10 z
考试点：复数代数形式的混合运算．
知识点：本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．