设函数f（x）=x•ekx（k≠0）（（ekx）′=kekx）（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．
问题描述：
设函数f（x）=x•ekx（k≠0）（（ekx）′=kekx）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
答
（1）f′（x）=ekx+kxekx=（1+kx）ekx（x∈R），且f′（0）=1，
∴切线斜率为1，
又f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0．
（2）f′（x）=（kx+1）ekx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-
，1 k
①若k＞0，当x∈（-∞，-
）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-1 k
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．1 k
②若k＜0，当x∈（-∞，-
）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-1 k
，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．1 k
综上所述，k＞0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-
），单调递增区间为（-1 k
，+∞）；1 k
k＜0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-
），单调递减区间为（-1 k
，+∞）；1 k
答案解析：（1）求出导数f′（x），切线斜率为f′（0）=1，切点（0，0），由点斜式可求切线方程；
（2）f′（x）=（kx+1）ekx（x∈k），令f′（x）=0，得x=-
，分k＞0，k＞0两种情况讨论，在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；1 k
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，属中档题．