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计算二重积分∬D1−x2−y21+x2+y2dσ，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

分类: 作业答案 • 2022-02-25 10:42:41

问题描述：

计算二重积分

∬

D

1−x2−y2

1+x2+y2

dσ，其中D是由圆周x²+y²=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

答

在极坐标系下计算这个二重积分，
由题意，D={(r，θ)|0≤θ≤

π

2

，0≤r≤1}．
∴

∬

D

1-x2-y2

1+x2+y2

dσ=

∫

π

2

0

dθ

∫

1

0

1-r2

1+r2

rdr
=

π

2

.

1

2

∫

1

0

1-r2

1+r2

dr2

令r2=t

.

.

π

4

∫

1

0

1-t

1+t

dt
=

π

8

(π-2)．
答案解析：将积分区域D写成极坐标形式，然后再计算．
考试点：利用极坐标系计算二重积分．
知识点：此题考查二重积分在极坐标系下的计算，是基础知识点．