求助 数三高等数学 Ln（f（x））的导数等于1/x^2 求f(x)求助 数三高等数学Ln（f（x））的导数等于1/x^2 求f(x)答案是f(x)=Ce^(-1/x) 求详细过程,非常感谢

解: 因为 [Ln(f(x)]'=1/x^2
所以 [1/f(x)]*f'(x)=1/x^2
即 [1/f(x)]df(x)/dx=1/x^2
这是一个变量分离微分方程, 变量分离得
[1/f(x)]df(x)=(1/x^2)dx
两端同时积分得
Ln|f(x)|=-1/x + C1
因此 |f(x)|=e^(-1/x + C1)=(e^C1)[e^(-1/x)]
令C=e^C1便得
f(x)=|f(x)|=Ce^(-1/x)
注: f(x)=|f(x)|是因为)(e^C1)[e^(-1/x)]≥0

因为－1/x＋c1的导数为1/x^2
所以 Ln（f（x））＝－1/x＋c1
有 f(x)= e^(-1/x+c1)
=(e^c1)e^(-1/x)
=Ce^(-1/x)
注：C＝e^c1

设f(x)=y>0（因为是Ln（f（x））)
则f'(x)=dy/dx
所以(ln(f(x)))'=(dy/dx)/y=1/x^2
所以1/y*dy=1/x^2*dx
两边不定积分可得lny=-1/x+C
所以y=e^[-1/x+C]=C*e^(-1/x)

导数等于1/x^2
则：ln(f(x))=-(1/x)+M (M为常数)
f(x)=e^[-(1/x)+M]=Ce^(-1/x) (C=e^M,为常数)