数列求和 裂项法

问题描述:

数列求和 裂项法

你看看这个吧,
裂项法求和
  这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
  (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
  (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
  (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
  (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
  (5) n·n!=(n+1)!-n!
  [例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)
  则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)
  = 1-1/(n+1)
  = n/(n+1)
[例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)
  则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)
  = (n-1)n(n+1)/3
  小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
  注意:余下的项具有如下的特点
  1余下的项前后的位置前后是对称的.
  2余下的项前后的正负性是相反的.
  易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)
  附:数列求和的常用方法:
  公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.(关键是找数列的通项结构)
  1、分组法求数列的和:如an=2n+3n
  2、错位相减法求和:如an=n·2^n
  3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
  4、倒序相加法求和:如an= n
  5、求数列的最大、最小项的方法:
  ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
  ② (an>0) 如an=
  ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
  6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
  (1)当 a1>0,d