1/2*6+1/4*8+1/6*10+...+1/2n*(2n+4)的极限

问题描述:

1/2*6+1/4*8+1/6*10+...+1/2n*(2n+4)的极限

=1/4(1/2-1/6+1/4-1/8+1/6-1/10+....+1/2n-1/(2n+4))
=1/4(1/2+1/4-1/(2n+2)-1/(2n+4))
当n无限大时
上式=1/4(1/2+1/4)
=3/16

1/2n*(2n+4)
=(1/4)(1/2n - 1/(2n+4))
因此:
1/2*6+1/4*8+1/6*10+...+1/2n*(2n+4)
=(1/4)(1/2-1/6+1/4-1/8+1/6-1/10+...+1/2n - 1/(2n+4))
上式中很多项正负会抵消,数项第一个为1/6,因此正项中1/2,1/4这两项会留下
正数项最后一项为1/(2n),因此负项中-1/(2n+4),-1/(2n+2)这两项会留下
=(1/4)[1/2 + 1/4 - 1/(2n+2) - 1/(2n+4)]
=3/16

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1/2*6+1/4*8+1/6*10+...+1/2n*(2n+4)
=1/4(1/2-1/6)+1/4(1/4-1/8)+1/4(1/6-1/10)+.+1/4(1/2n-1/(2n+4))
=1/4(1/2-1/2n+4)
=1/8(1-1/n+2)
=(n+1)/8(n+2)

极限是 1/8