在三棱锥P－ABC中O为顶点P在底面的射影何时O为底面外心何时为内心何时为垂心

外心
设射影点为0
AP^2-OP^2=AO^2
BP^2-OP^2=BO^2
CP^2-OP^2=CO^2
因为AP=BP=CP
所以AO=BO=CO
O到三点距离相等，所以是外心

1、当O为底面外心时,O至底面A、B、C三顶点距离相等,
即是外接圆半径,它们都是侧棱在底面的射影,故由此可知,当三条侧棱PA=PB=PC时,O为外心.
2、当O为底面内心时,距底面三边距离相等,即为内切圆半径,它们相应是三侧面斜高在底面的射影,故当三侧面斜高相等时,为内心.
3、当O为底面垂心时,O与底面三顶点连线垂直于相应底面各边,
各边垂直对棱与高所在的平面,即当各侧棱与其对棱相垂直时,O为底面三角形的垂心,特例情况,当三侧棱两两相互垂直时,顶点射影是底面三角形的垂心.