在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB=60度.(1)证明AD垂直平面PAB (2)求异面直线PC与AD所成角的大小 (3)求二面角P-BD-A的的大小用向量方法做

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2根号2,角PAB=60度.
(1)证明AD垂直平面PAB
(2)求异面直线PC与AD所成角的大小
(3)求二面角P-BD-A的的大小
用向量方法做

:(1)在△PAD中,由题设PA=AD=2,PD=2
2 ,可得PA 2 AD 2 =PD 2 ,于是AD⊥PA…
∵在矩形ABCD中,AD⊥AB,PA、AB是平面PAB内的相交直线
∴AD⊥平面PAB;…
(2)由题设,BC∥AD,
所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.
在△PAB中,由余弦定理得
PB=P A 2 A B 2-2PA•AB•cosPAB = 7
由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB,PB⊂平面 PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tanPCB=PB BC=「7/ 2 .
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan「7/ 2 .(3)∵AD⊥平面PAB,AD⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面PAB
分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系,
根据平面ABCD⊥平面PAB且∠PAB=60°得P(1,0,
3 ),B(3,0,0),
D(0,2,0)

PD =(-1,2,-「3 ),
PB =(2,0,-「 3 )
设平面PBD的一个法向量为
n =(x,y,z),
∴n •PB =2x-「3
z=0n •PD =-x 2y-
「3 z=0 ,取x=2 「3 ,得
n =(2「3 ,3「3 ,4),
又∵平面PAB的一个法向量为
AD =(0,2,0)
∴cos<AD ,n >=
AD •n/ | AD |•|n | =6 「3
/55 •2 =
3 「165 /55
因此,二面角A-PB-D的余弦值等于
3 「165 /55 …
纯手打,勿抄袭,个别特殊符号可能有问题,请仔细审查.