如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ___ .①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.
问题描述:
如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ___ .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.
答
知识点:此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质;本题的难点是结论③的证明,能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键.
应添加的条件是②③④;
证明:②当∠BAD=∠CAD时,
∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;
则△ABD≌△ACD,
∴△BAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,
∴DE=DF,又AD⊥BC;
∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;
∵AB=BE,
∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:
AB2-BD2=AC2-CD2,
即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD);
∵AB-BD=AC-CD①,
∴AB+BD=AC+CD②;
∴①+②得:,
2AB=2AC;
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
故答案为:②③④.
答案解析:可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确;③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立.
考试点:等腰三角形的判定与性质.
知识点:此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质;本题的难点是结论③的证明,能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键.