设函数f(x)=（2的 x+4次方） 除以 （ 4的 x次方 +8 ）设函数f(x)=2的 x+4次方 除以 4的 x次方 +8 (1)求f(x)的最大值 （2）证明对于任意实数a,b恒有f（a）＜b平方-3b+ （ 4分之21）
问题描述：
设函数f(x)=（2的 x+4次方） 除以 （ 4的 x次方 +8 ）
设函数f(x)=2的 x+4次方 除以 4的 x次方 +8
(1)求f(x)的最大值 （2）证明对于任意实数a,b恒有f（a）＜b平方-3b+ （ 4分之21）
答
（1）将分子和分母同时除以2^x得到f(x)=16/(2^x+8/2^x)，分母是个有拐点的函数，当2^x=8/2^x即x=2倍根号2时，分母有最小值，此时f(x)有最大值2倍根号2
（2）右面整理得（b-1.5)的平方+3，衡大于等于3，又因为3大于2倍根号2，所以（2）得证
答
y=2^(x+4)/(4^x+8)>0
(2^x)^2*y+8y=16*2^x
设t=2^x,则t>0
yt²-16t+8y=0
∴⊿=(-16)²-4y*8y≥0
∴y²≤8
∴0