如图,菱形ABCD中,∠ABC=120°,菱形的边长为6,点E、F分别是边AD,CD上的两个动点(E、F与D不重合).(1)若E、F满足AE=DF.①求证:△BEF是等边三角形;②设△BEF面积为S,直接写出S的最大值和最小值.(2)若E、F满足∠BEF=60°,则△BEF是否仍一定为等边三角形?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.

问题描述:

如图,菱形ABCD中,∠ABC=120°,菱形的边长为6,点E、F分别是边AD,CD上的两个动点(E、F与D不重合).
(1)若E、F满足AE=DF.
①求证:△BEF是等边三角形;
②设△BEF面积为S,直接写出S的最大值和最小值.
(2)若E、F满足∠BEF=60°,则△BEF是否仍一定为等边三角形?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.

(1)①证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=60° AD=CD
∴△ABC与△BCD是正三角形
∴BD=BC
∵AE=DF
∴DE=CF
在△BDE与△BFC中

DE=CF
∠ADB=∠C
BD=BC

∴△BDE≌△BFC
∴BE=BF,∠EBD=∠CBF
∴∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°
∴∠EBF=60°
∴△BEF为等边三角形;
②由①知△BEF为等边三角形,其边长最大值为6,最小值为3
3

所以S的最大值是9
3
,最小值为
27
4
3

(2)△BEF是等边三角形过E作EG∥DB交AB与点G
可得△AEG是等边三角形
∴AE=AG,∠EGB=120°,∠AEG=60°
∴GB=ED,∠EGB=∠EDF
∵∠BEF=60°
∴∠GEB+∠DEF=60°
∵∠DFE+∠DEF=60°
∴∠GEB=∠DFE
∴△EGB≌△FDE
∴BE=EF
∴△BEF是等边三角形.
答案解析:(1)①先证明三角形BEF是等腰三角形,再求出一个内角的度数是60°.
②当点E、F分别与点D、C重合时,等边三角形的边最长面积最大,当EF⊥BD时且E.F分别两边的中点时边最小面积也最小.
(2)先判定再证明,只要求出另一个内角的度数就能判定三角形的形状,利用两个等角加相邻的角相等从而求出另一个内角的度数.
考试点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定.

知识点:证明这个题一定要牢记等边三角形的判定条件和等边三角形的性质.依据题意判断使用哪种判定条件.