如图,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且CD=AE,AD与BE相交于点P.(1)求证:∠ABE=∠CAD;(2)若BH⊥AD于点H,求证:PB=2PH.

问题描述:

如图,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且CD=AE,AD与BE相交于点P.

(1)求证:∠ABE=∠CAD;
(2)若BH⊥AD于点H,求证:PB=2PH.

证明:(1)∵等边△ABC,
∴AC=AB,∠C=∠CAB.
∵CD=AE,
∴△ABE≌△CAD.
∴∠ABE=∠CAD.
(2)∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°,
∵BH⊥AD于点H,
∴∠EBH=30°,
∴在Rt△PBH中,PB=2PH.
答案解析:(1)欲证∠ABE=∠CAD,可以通过证明△ABE≌△CAD得出;
(2)欲证PB=2PH,因为BH⊥AD于点H,在Rt△PBH中根据含30°的直角三角形的性质由∠BPH=60°即可得到答案.
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.


知识点:此题主要考查等边三角形的性质及全等三角形判定与性质及含30°角的直角三角形的性质;求得三角形全等及∠BPH=60°是正确解答本题的关键.