如图所示,AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE,BE与DC交于点P.求证:PA平分∠DPE.

问题描述:

如图所示,AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE,BE与DC交于点P.求证:PA平分∠DPE.

证明:过点A分别作AM⊥DP,垂足为点M,AN⊥PE,垂足为点N,
∵∠DAB=∠CAE(已知),
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC(等式的性质),
即∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中,
∵AB=AD,∠DAC=∠BAE.AC=AE,
∴△ADC≌△ABE(SAS)
∴DC=BE (全等三角形的对应边相等),
∵S△ADC=S△ABE
∴AM=AN
在Rt△AMP和Rt△ANP中,

AP=AP(公共边)
AM=AN(已证)

∴Rt△AMP≌Rt△ANP(HL).
∴∠APM=∠APN(全等三角形的对应角相等),
∴PA平分∠DPE(角平分线的定义)

答案解析:先由AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE,易证△ADC≌△ABE(SAS),由△ADC≌△ABE可得它们的面积相等,且对应边相等,所以得到对应边上的高也相等,即AM=AN,然后由“HL”定理证明Rt△AMP≌Rt△ANP,从而证明结论.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:此题考查了全等三角形的判定与性质,通过作辅助线,证明两次三角形全等,即可证明结论.