求证ab=ac+bc,已知2的a次方=5的b次方=10的c次方2的a次方,5的b次方,10的c次方不等于1
问题描述：
求证ab=ac+bc,已知2的a次方=5的b次方=10的c次方
2的a次方,5的b次方,10的c次方不等于1
答
A=B=C=0
答
2^a=5^b=10^c=k(k不等于1)
a=log2(k),b=log5(k),c=lg(k)
ab=log2(k)*log5(k)=[lg(k)]^2/(lg2*lg5);
ac+bc=(a+b)*c=[lg(k)]^2*(1/lg2+1/lg5))=[lg(k)]^2/(lg2*lg5);
ab=ac+bc
答
用^来表示多少次方,则原题变形为：
已知：2^a=5^b=10^c,求证：ab=ac+bc.
证明：因为2^a=5^b=10^c≠1,所以a、b、c≠0.
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方,得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方,得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同,所以次数相等,可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab,得
ab=ac+bc