对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x),g(x)对于任意属于[m,n]均有|f(x)-g(x)|>2成立,则称f(x)与g(x)在区称f(x)与g(x)在区间[m,n]上是分离的,现有f(x)=1/2(a^x-a^-x)与g(x)=a^x,若f(x)与g(x)在区间[1,2]上是分离的,试求a的范围
问题描述：
对于在区间[m,n]上有意义的两个函数f(x),g(x)对于任意属于[m,n]均有|f(x)-g(x)|>2成立,则称f(x)与g(x)在区称f(x)与g(x)在区间[m,n]上是分离的,现有f(x)=1/2(a^x-a^-x)与g(x)=a^x,若f(x)与g(x)在区间[1,2]上是分离的,试求a的范围
答
f(x)=1/2(a^x-a^-x) ,g(x)=a^x,
g(x)-f(x)=1/2(a^x+a^-x) >0
这里 a≠1 a>0
设F(X)=|f(x)-g(x)|-2=1/2(a^x+a^-x) -2
F(1)=1/2 * (a +1/a ) -2
F(2)=1/2 * (a² +1/a² ) -2
F'(X)=1/2(a^xlna-a^-xlna)
令F'(x)=0 x=0 唯一驻点在[1,2]外
即在[1,2]上F(X)是单调的
02+根号3 或者 0