对于在区间对[m,n]上有意义的两个函数f(x)和g(x),对任意x属于[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1那么我们称f(x)那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的,y=x^2-3x+2与y=2x+3在[a,b]上是接近的否则称非接近,现在有二个函数f1(x)=㏒10(x-3a)与f2(x)=1/x-a(a>0,a≠1)给定区间[a+2,a+3],(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上有意义,求a的取值范围(2)f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否接近
对于在区间对[m,n]上有意义的两个函数f(x)和g(x),对任意x属于[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1那么我们称f(x)
那么我们称f(x)和g(x)在[a,b]上是接近的,y=x^2-3x+2与y=2x+3在[a,b]上是接近的否则称非接近,现在有二个函数f1(x)=㏒10(x-3a)与f2(x)=1/x-a(a>0,a≠1)给定区间[a+2,a+3],(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上有意义,求a的取值范围(2)f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否接近
(1)函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上有意义,
必须满足
a+2-3a>0a+2-a>00<a,a≠1
⇒0<a<1
(2)假设存在实数a,使得函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的,
则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|⇒|loga(x2-4ax+3a2)|≤1
即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1(*)
因为a∈(0,1)⇒2a∈(0,2),而[a+2,a+3]在x=2a的右侧,
所以函数g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2,a+3]上为减函数,从而
[g(x)]max=g(a+2)=loga(4-4a)[g(x)]min=g(a+3)=loga(9-6a)
于是不等式(*)成立的充要条件是
loga(4-4a)≤1loga(9-6a)≥-10<a<1
⇒0<a≤
9-57
12
因此,当0<a≤
9-57
12
时,函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的;当1>a>
9-57
12 时,函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是不“友好”的.
(1)要使f1(x)与f2(x)有意义,则有 {x-3a>0x-a>0a>0且a≠1要使f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,等价于:{a+2>3aa>0且a≠1所以0<a<1.(2)f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的...