如图1,点C将线段AB分成两部分,如果ACAB=BCAC,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果S1S=S2S1,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.

问题描述:

如图1,点C将线段AB分成两部分,如果

AC
AB
BC
AC
,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果
S1
S
S2
S1
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.


答案解析:(1)若点D为AB边上的黄金分割点,则有

AD
AB
BD
AD
.如果设△ABC的边AB上的高为h,根据三角形的面积公式,易得
S△ADC
S△ABC
AD
AB
S△BDC
S△ADC
BD
AD
,即有
S△ADC
S△ABC
S△BDC
S△ADC
,根据图形的黄金分割线的定义即可判断;
(2)由于等底同高的两个三角形的面积相等,所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分,即有s1s2
1
2
s
,则
s1
s
s2
s1
,从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线;
(3)由于直线CD是△ABC的黄金分割线,所以
S△ADC
S△ABC
S△BDC
S△ADC
.要想说明直线EF也是△ABC的黄金分割线,只需证明
S△AEF
S△ABC
S四边形BEFC
S△AEF
,即证S△ADC=S△AEF,S△BDC=S四边形BEFC即可.因为DF∥CE,所以△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等,所以有S△DFC=S△DFE,所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF,S△BDC=S四边形BEFC
(4)根据黄金分割线的定义即可作出.本题答案不唯一,作法有无数种.
考试点:黄金分割;三角形的角平分线、中线和高;平行四边形的性质;作图—基本作图.

知识点:本题考查学生的阅读能力、知识迁移能力、分析问题及解决问题的能力.综合性较强,有一定难度.