设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间（a，b）内的根有（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无穷多个
问题描述：
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程
f(t)dt+
∫
x
a
∫
x
b
dt=0在开区间（a，b）内的根有（ ）1 f(t)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷多个
答
知识点：只要知道判断根的一般方法，这个题没有难度．
解； 设F(x)
f(t)dt
＝∫
x
a
+∫
x
b
dt，则F（x）在x∈[a，b]连续，并且F(a)1 f(t)
＝∫
a
b
dt，F(b)＝1 f(t)
f(t)dt
∫
b
a
而f（x）＞0，x∈[a，b]
∴F（a）＜0，F（b）＞0
∴根据零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得：F（ξ）=0
又F′(x)＝f(x)+
＞0，x∈[a，b]1 f(x)
∴F（x）在[a，b]单调递增
∴F（x）在（a，b）只有一个零点
即方程
f(t)dt
∫
x
a
+∫
x
b
dt＝0在（a，b）只有一个根1 f(t)
答案解析：判断函数根的情况，我们一般用零点定理和函数单调性．因此我们先由方程假设一个函数，再说明这个函数在[a，b]是连续的，并且在端点处的函数值异号，然后由零点定理，就可以得出在（a，b）至少有一个零点．接着判断函数的单调性，由单调性就可以得出根的个数了．
考试点：连续函数的四则运算的结果连续．
知识点：只要知道判断根的一般方法，这个题没有难度．