设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程∫xaf(t)dt+∫xb1f(t)dt=0在开区间（a，b）内的根有（ ） A.0 B.1 C.2 D.无穷多个
问题描述：
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）＞0，则方程
f(t)dt+
∫
xa
∫
xb
dt=0在开区间（a，b）内的根有（ ）1 f(t)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无穷多个
答
解； 设F(x)
f(t)dt
＝∫
xa
+∫
xb
dt，则F（x）在x∈[a，b]连续，并且F(a)1 f(t)
＝∫
ab
dt，F(b)＝1 f(t)
f(t)dt
∫
ba
而f（x）＞0，x∈[a，b]
∴F（a）＜0，F（b）＞0
∴根据零点定理有，至少存在一点ξ∈（a，b），使得：F（ξ）=0
又F′(x)＝f(x)+
＞0，x∈[a，b]1 f(x)
∴F（x）在[a，b]单调递增
∴F（x）在（a，b）只有一个零点
即方程
f(t)dt
∫
xa
+∫
xb
dt＝0在（a，b）只有一个根1 f(t)